也谈“几何直观”的认识及运用

2011版《课程标准》中提出的十个核心概念中，“几何直观”是重新修订时新增出来的重要理念。《课标》中指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简单、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。很显然《课标》对“几何直观”在教学中的作用是很重视的，它在整个小学和初中的学习中都发挥着重要的作用。《课标》制定组的专家教授对其作了解读，作为我们一线教师有必要深入的领会“几何直观”的内涵和重要作用，思考在教学中如何去运用“几何直观”。

一、为什么要重视“几何直观”

为什么要重视“几何直观”呢？数学是对客观现象抽象概括而逐步形成的，它是研究数量关系和空间形式的科学，所以数学的知识是抽象的，学习数学最需要的是抽象思维和推理能力。而作为小学生的抽象思维能力还在逐步形成和成长之中，在学习和思考问题的时候更多的借助形象思维，借助实物操作或者具体的图形、图像。即使是到了高年级，学生有了一定的抽象思维能力，对于数量之间抽象的联系，推理过程中间问题的含义，在分析思考过程中，学生容易迷失或形成错误的理解。所以在思考的过程中用直观形象的图形、符号把问题表述出来，把思考的过程描述出来，把看不见的抽象思维显现出来、固化下来，对于学生进一步思考、探索问题的思路、最终解决问题都有极大的帮助。

二、“几何直观”的内涵

《课标》中指出“几何直观”主要是指利用图形描述和分析问题。首都师范大学的刘晓玫教授说：几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对事物的性质获数量关系的直接感知。所以“图形与几何”领域的数学问题运用“几何直观”，通过画几何图形来分析，是最常用，最有效的。但笔者认为“几何直观”作为数学学习的一个重要思想和思维方法，并不局限于“图形与几何”领域，还可以运用到“数与代数”、“统计与概率”、“综合与实践”等其他知识领域。所以这里的“图形”不能局限于几何图形，还可以是运算符号、图形、以及方框、箭头等直观的符号组合表示的图示语言，甚至用文字、符号、字母等表示出来的数量关系式都可以看成是“图形直观”。用这种图示语言可以简明直观地表示出数量关系，有助于探索解决问题的思路。

另外值得注意的是“几何直观”中所指的“直观”，不仅仅是直观的再现问题情境，而应该是过滤掉用语言文字描述的问题情境中的凌乱的、情节性的、非本质的信息，它是经过概括、提炼后的直观。它使得问题情境数学化，抽象化，具有形象具体又简单抽象的双重特点，只有这样的“直观”才能凸显问题中的数量关系，有助于探索解决问题的思路。

三、“几何直观”在教学中的运用

“几何直观”作为一种数学思维的方法，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用，在不同年级，解决不同类型的问题中都能发挥很好的作用。下面结合几个教学中的例子谈一谈。

1、在低年级时，有些较复杂的实际问题用“几何直观”的方法来帮助分析题意，学生才容易理解。比如有这样一个问题，“妈妈买来一些桃，上午吃了一半，下午又吃了剩下的一半，盘里还剩下3个，妈妈原来买了多少个桃?”。一些学生对逆向思考的数量关系难以理解，教学时教师可以用正方形画图来表示问题意思，帮助学生理解题意。（如图）有了这个直观图形的支撑，学生很容易推想原来桃子的个数，3×2=6个，6×2=12个。

在低年级的教学中，教师要有意识引导学生学会看懂图示语言，体会到示意图的既简洁又形象，容易找到解决问题的思路的优点，让学生对图示语言产生好感和画图的愿望，培养“几何直观”的意识。

2、图形问题中运用“几何直观”尤为有效。比如四年级下册中几何图形面积的计算中有这样一个问题。“张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。扩建校园时，操场的长增加了10米，宽增加了8米。操场的面积增加了多少平方米？”这个问题，不画示意图，有些学生容易理解成为增加的面积是10×8=80平方米。让学生画出示意图后学生就理解增加的面积不是一个长方形，而是一个“L”形。要通过分割成几个长方形来求增加部分的面积。“几何直观”的作用是显而易见的。

3、行程问题中也常用线段图来分析问题。比较复杂的行程问题，关系到两个物体的运动方向和路程，数量关系比较复杂，用箭头、线段来表示行走的方向和路程能直观形象的表示出路程之间的数量关系。比如：一艘货轮和一艘客轮同时从南京开往武汉。客轮每小时行23千米，货轮每小时行28千米。经过20小时货轮到达武汉，客轮距离武汉有多少千米？这个问题，可以让学生自己根据题目的叙述，逐步画出线段图，学生就会理解，要求客轮距武汉有多少千米，就是求货轮与客轮的路程差。从而列出算式28×20－23×20＝100米，示意图的作用显而易见。

4、倒推问题中借助“几何直观”来分析也很有效。五年级学习用倒推法解决的实际问题特点很明显，学生往往知道要用倒推的策略，但较复杂的倒推问题在分析时，学生却不容易理解其中的数量关系，容易导致思路的混淆。所以教会学生画倒推示意图来分析题意尤为重要。比如，“小明原来有一些邮票，今天有收集了24张，送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？”画出这种方框加箭头的图更加容易理解，思路一目了然。

再如，多个数量一同变化的复杂倒推实际问题，画多行方框加箭头的示意图来分析会更有效。比如：有一个书架有上中下三层，共有360本图书。从上层拿30本到中层，再从中层拿45本到下层，再从下层拿35本到上层后，三层的图书同样多。原来三层上各有多少本书？这道题中的有三个数量，都有两次变化，比较复杂。而引导学生用方框和箭头示意图的方法，画出三层中图书的变化情况，问题同样可以一目了然，迎刃而解。看着这个示意图，学生不难列出算式。上层：120－35＋30=115本，中层120＋45－30=135本，下层120＋35－45=110本。

5、运用图形文字表述的数量关系式也能帮助学生直观的分析问题。比如有这样一个问题：星期天，小红去超市买了2支钢笔和3支圆珠笔共用了31元，小强也买了同样的2支钢笔和5支圆珠笔，一共用了41元。你知道每只圆珠笔多少钱，每只钢笔多少钱？题目中钢笔和圆珠笔的单价都是未知量，学生解决起来有些困难。我们可以把题目中的数量关系用等量量关系式并排写出来，让学生观察两个等量关系式的相同和不同，学生很容易发现两人的钢笔数量相等，小强比小红多买了2只圆珠笔，小强比小红多花了10元钱。从而分析出2只圆珠笔是10元钱，所以用（41－31）÷（5－3）＝5元，算出一只圆柱笔5元钱。再根据等量关系式倒推出钢笔的价格，（31－5×3）÷2=8元。这里等量关系式虽然是抽象的，但写出这两个等量关系式，让学生看到，并进行比较，学生能直观的看到多出的2支圆珠笔和多花的10元钱的对应关系，学生分析理解起来就显得更容易了。所以等量关系式在某种程度上也应该看成是直观的形式，写出问题中的等量关系式，在解决问题中也发挥很大作用。

以上的举的这些例子中，虽然用的图形、符号的形式不同，但都很好的体现了“几何直观”这种思想方面在解决问题中的运用，其实这样的例子还有很多，比如分数的实际问题，长方体、正方体等立体图形的表面积和体积问题、周期问题、植树问题等等，我们在解决稍复杂的数学问题时都会自觉运用“几何直观”的方法来分析。总之，“几何直观”作为2011版《课程标准》提出来的新增加的核心概念，是学习数学中的常用的思考问题的方法，在数学教学中有非常重要的意义，让学生养成用图形符号语言的直观方法来分析问题，解决问题的习惯，有助于提升学生解决问题的能力，同时还有助于培养学生的符号意识、模型思想，提升学生的数学素养。